Das Problem ist aber, dass die Variante mit der grösseren Schrift nicht auf dem Smartphone geladen wird, weil die Auflösung zu hoch ist (Full HD und höher).

Wie kann ich dafür sorgen dass die Smartphone-Variante auch auf dem Smartphone gezeigt wird? Einige CMS-Systeme verwenden dafür Listen mit Hardware-Arten (Iphone, SGS2-3-4-5-6 und und und...), um das zu lösen.

Du solltest mal das Vorschaufenster im WD auf Smartphonegröße bringen und dann machst du davon einen Schreenshot, den du in die nächste Antwort hängst. Dann sehen wir mal wie es aussieht.

Einfacher wäre aber, wir wüssten die Web-Adresse und hätten so die Möglichkeit, es uns "live" selbst anzusehen.

Aber da wird ja hinter dem Berg gehalten - keine URL - fast wie immer bei Fragen zum Web Designer.

Noch gibt es ja keine Smartphone-Variante ...

[...] Meine entscheidende Frage ist aber ja: kann ich die Devices nur über die Auflösung unterscheiden? Dann macht das ganze response ja keinen Sinn. [...]

Das (pseudo) responsive Design, das der WD erzeugt, ist zwar nicht direkt von der Auflösung des Geräts abhängig  auf dem der Browser läuft, wohl aber von der Fensterbreite (in Pixeln) des anzeigenden Browsers.

Das ist sicher ein Schwachpunkt der praktizierten Methode.

Besser geht es, wenn Du zusätzlich zu Deiner Site in der Desktop Version noch speziell angepasste Versionen  erstellst, die z. B. für Android Geräte- oder für Geräte der i-Family optimiert wurden. Diese Seiten können dann über eine professionelle Browserweiche korrekt an die Browser der jeweiligen Geräte ausgeliefert werden.

Wie eine dazu passende Browserweiche erstellt werden kann, das habe ich hier ausführlich erklärt.

Viel Erfolg