[...] Nun wird die neue Homepage teilweise fehlerhaft angezeigt. Teilweise verzerrte, verschobene oder vergrößerte Schriftarten. Teilweise werden Elemente der alten Homepage angezeigt. [...]

Ein Effekt, der auftreten könnte, wenn beim Upload der neuen Site nicht alle (jetzt geänderten) Elemente gleichen Namens der alten Site überschrieben wurden. Dann liegen auf dem Server alte- und neue Dateien gemischt im Verzeichnis Deiner Website.
Das sollte eigentlich nicht passieren, ist aber nicht völlig ausgeschlossen.

Abhilfe würde hier die vollständige Löschung aller Dateien auf dem Webserver schaffen, bevor die neuen Dateien hoch geladen werden.

Das passiert nicht bei allen Browsern [...] Jedenfalls aber kann das Problem behoben werden wenn man Cookies und Temp. Internetdateien löscht. [...] Aber das wissen die meisten die auf die Homepage zugreifen ja nicht.

Die Fehlerbeschreibung weist eher darauf hin, dass der vom Browser benutzte Cache auf Deinem PC die Ursache ist.
Deine Sorge, dass andere Besucher Deiner Website das gleiche Problem haben könnten, ist in dem Fall unbegründet. Die Website wird dort so angezeigt, wie sie von Dir hochgeladen wurde.

Das von Dir geschilderte Problem kann also leicht, mit Bordmitteln umgangen werden, wenn es wieder auftritt.