Auf meiner Landingage www.busch-kreuztal.de ist zwar jetzt ein Video, welches allerdings manuell gestartet werden muss, und dann ist auch noch so ein blöder Balken unter dem Video zu sehen.

Nein. Ich sehe weder die Notwendigkeit einen Startknopf drücken zu müssen noch einen Balken.
Das Video startet - gemäß meiner Browsereinstellungen - automatisch.

Könnt Ihr mir einen Tip geben, wie ich dieses Video umwandeln oder einbinden muss, damit es so ähnlich aussieht ?

Ich finde dein jetziges Video absolut ausreichend. Wenn du es als Hintergrundvideo einrichten willst, dann wäre es vielleicht eine Idee, den Text zu separieren. Dann würde er auch an die diversen Varianten automatisch angepasst.
Ansonsten noch als Tipp: ein Bild welches animiert wird plus eine Nebelanimation, welche darüber liegt dürfte den gleichen Effekt haben wie ein Video. Wenn eine Überblendanimation also für dich einfacher zu realisieren wäre, wäre dies sicher auch eine gute Möglichkeit.

Bei der Frage "wie ein Video beschaffen sein sollte, um auf einer Webseite gut zu funktionieren, egal mit welchem Device die Page aufgerufen wird" dürfte das Forum hier sicher für eine erste Suche ausreichen. Meine Kenntnisse sind hier zu gering, um Tipps geben zu können. Die von dir angegebene Seite nutzt ein mp4 - Video. Näher analysiert habe ich es nicht. Gruß Marboe