Für jede Variante (Standard und Smartphone) muss ein Widget angelegt werden. Es genügt nicht, wie bei Text oder Bild, dieses mit der Variante zu teilen.

Vielen Dank. Für den Lösungsvorschlag. Leider funktioniert es so nicht. In der Standart-Variante hat es funktioniert. Danach habe ich für die Smartphone Variante ein weiteres Widget angelegt. Danach funktionierte es in der Smartphone Variante. Aber leider war es danach aus der Standartvariante verschwunden ohne das dort etwas verändert wurde.

leider war es danach aus der Standartvariante verschwunden ohne das dort etwas verändert wurde.

Was @BilderMacher gesagt hat, das löst dein Problem, wenn du tatsächlich ein jeweils neues-, oder genauer gesagt ein anderes Widget für die einzelnen Varianten benutzt.
Das Problem wird durch die Mehrfache Zuweisung einer ID verursacht, die im Programmcode einer Website nur ein ein einziges Mal zugewiesen werden darf.

Jeder Store, den du über das Ecwid Widget anlegst bekommt so eine ID, z. B. "<div id="my-store-12345678"></div>"

Du kannst diese ID (den Store) also nur 1x auf einer HTML Seite anzeigen, wenn du das Widget (den HTML Code), wie im Web Designer üblich, in einen HTML body eines Platzhalter einbindest.
Leider legt der WD die Seiten der Varianten in einer einzigen HTML Datei an. Das Dilemma der Mehrfach Zuweisung einer ID ist also vorprogrammiert, da du den HTML Code des Widgets mit identischer ID für jede Variante zusätzlich auf einer einzigen HTML Seite anlegst und schon "knallt's"...

Aber es gibt eine Lösung:

1. Du erstellst ein neues Projekt, das du z. B. "Shop" nennst. Das Projekt enthält nur eine Seite, der du den Namen "shop" geben kannst. Die Seite machst du genau so groß, dass der Platzhalter für das Shop Widget in der gewünschten Größe hinein passt.
   In den HTML body des Platzhalters kopierst du nun den HTML Code des Ecwid.
    
2. Auf den Seiten der einzelnen Varianten (Desktop, Tablet, Smartphone, etc.) legst du je 1 Platzhalter in geeigneter Größe an, in dem du die vorhin angelegte Shop Seite per iframe Code einbindest.
   Der Code:

   <iframe src="./shop.htm" width="100%" height="100%" frameborder="0"
   scrolling="auto" name="xara_iframe" >
   <p>Your browser does not support iframes.</p></iframe>
   

3. Beide Projekte lässt du jetzt vom WD ins selbe Verzeichnis exportieren, was zum Test zunächst auch lokal passieren kann.
   Du siehst dann die "index.htm" deines Hauptprojekts, die auch alle Seiten der Varianten enthält und die neu angelegte Seite "shop.htm" zusammen in einem Verzeichnis.
   
   Das ist wichtig, damit der im iframe angelegte Verweis auf die Shop Seite funktioniert

Öffnest du die "index.htm" mit einem Doppelklick, sollte das eingebundene Ecwid auch auf den Seiten der Varianten angezeigt werden. 😊

Ich habe inzwischen weiter getüftelt und den Ecwid Store direkt in die verschiedenen Varianten eingebunden also ohne das Widget zu benutzen. So funktioniert es. iframe war die Lösung für mich.